ল্যাপলেসের সমীকরণের গণিত

ল্যাপলেসের সমীকরণ, দ্বিতীয়-ক্রমের আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যাপকভাবে পদার্থবিজ্ঞানে কার্যকর কারণ এর সমাধান আর (সুরেলা ফাংশন হিসাবে পরিচিত) বৈদ্যুতিক, চৌম্বকীয় এবং মহাকর্ষীয় সম্ভাবনাময়, স্থির-স্থিতিকাল তাপমাত্রার এবং হাইড্রোডাইনামিক্সের সমস্যাগুলিতে দেখা দেয়। এই সমীকরণটি আবিষ্কার করেছিলেন ফরাসি গণিতবিদ এবং জ্যোতির্বিদ পিয়েরে-সাইমন ল্যাপ্লেস (1749–1827)।

শারীরিক বিজ্ঞানের নীতি: ডাইভারজেন্স এবং ল্যাপ্লেসের সমীকরণ

যখন চার্জগুলি বিচ্ছিন্ন পয়েন্ট না হয় তবে স্থানীয় চার্জের ঘনত্বের সাথে অবিচ্ছিন্ন বিতরণ গঠন করে ρ চার্জের অনুপাত ρ

ল্যাপলেসের সমীকরণটি বলে যে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের ক্ষেত্রে আর-এর দ্বিতীয়-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভসের যোগফল, অজানা ফাংশন, শূন্যের সমান:

বাম দিকের যোগফল প্রায়শই ∇ ² আর এর দ্বারা প্রকাশিত হয়, যেখানে ∇ ² প্রতীকটিকে ল্যাপ্লেসিয়ান বা ল্যাপ্লেস অপারেটর বলা হয়।

অনেক শারীরিক ব্যবস্থা গোলাকৃতির বা নলাকার সমন্বয় ব্যবস্থা ব্যবহার করে আরও স্বাচ্ছন্দ্যের সাথে বর্ণনা করা হয়। এই স্থানাঙ্কগুলিতে ল্যাপ্লেসের সমীকরণ পুনরায় সংযুক্ত করা যেতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, নলাকার স্থানাঙ্কে, ল্যাপ্লেসের সমীকরণ