আধুনিক বীজগণিত গণিত

রিং

সংখ্যা তত্ত্ব রিং

অন্য দিকে, জার্মান গণিতবিদ যেমন আর্নস্ট কুমার, রিচার্ড দেদেকাইন্ড এবং লিওপল্ড ক্রোনেক্কারের সংখ্যা তত্ত্বের গুরুত্বপূর্ণ অগ্রগতি বীজগণিত পূর্ণসংখ্যার রিং ব্যবহার করেছিলেন। (একটি বীজগণিত পূর্ণসংখ্যা একটি জটিল সংখ্যা যা x ⁿ + a ₁ x ^{n − 1} + ফর্মের বীজগণিত সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে

।

+ a _n = 0 যেখানে সহগ _{1 টি}, ।, একটি _এন পূর্ণসংখ্যা হয়।) তাদের কাজটি এ জাতীয় রিংগুলিতে একটি আদর্শের গুরুত্বপূর্ণ ধারণাটি প্রবর্তন করে, তাই বলা হয় কারণ এটি রিংয়ের বাইরে "আদর্শ উপাদানগুলি" দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। Matheনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে জার্মান গণিতবিদ ডেভিড হিলবার্ট বহুবচন সম্পর্কে একটি পুরানো সমস্যা সমাধানের জন্য আদর্শ ব্যবহার করেছিলেন (বহু পরিবর্তনশীল এক্স ₁, এক্স ₂, এক্স ₃, ।)। সমস্যাটি ছিল একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক ভেরিয়েবল গ্রহণ করা এবং সিদ্ধান্ত নেওয়া যে কোন সর্বাধিক চূড়ান্তভাবে বহু বহুবচন দ্বারা আদর্শ উত্পন্ন হতে পারে। হিলবার্টের পদ্ধতিটি সমস্যার সমাধান করেছিল এবং দেখিয়ে দিয়েছিল যে তাদের সকলেরই এই সম্পত্তি ছিল এবং আরও তদন্তের শেষ করেছিল। তাঁর বিমূর্ত “হ্যান্ডস অফ” পদ্ধতির ফলে জার্মান গণিতবিদ পল গর্ডন এই উদ্বোধন করতে পরিচালিত করেছিলেন "দাস ইশ নিক্ট ম্যাথাম্যাটিক, দাস ইস্ট থিয়োলজি!" ("এটি গণিত নয়, এটি ধর্মতত্ত্ব!")। আধুনিক বীজগণিতের শক্তি এসেছিল।

নীচের উদাহরণে যেমনটি দেখানো হয়েছে তেমনই গাণিতিক সমস্যা সমাধানে রিংগুলি স্বাভাবিকভাবে উত্থিত হতে পারে: দুটি পুরো বর্গের যোগফল হিসাবে কোন পুরো সংখ্যাটি লেখা যেতে পারে? অন্য কথায়, কখন একটি সম্পূর্ণ নম্বর এন ^{2 2} বি ² হিসাবে লেখা যায় ? এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, এটি প্রাথমিক উপাদানগুলিতে এন ফ্যাক্টর হিসাবে কার্যকর এবং এটি একটি ² + বি ² কে (a + দ্বি) (ক - দ্বি) হিসাবে ফ্যাক্টর করতেও দরকারী, যেখানে i ² = −1। প্রশ্নটি তখন a + দ্বি সংখ্যার ক্ষেত্রে পুনরায় পুনঃস্থাপন করা যেতে পারে যেখানে a এবং b পূর্ণসংখ্যা হয়। এই সংখ্যার সেটটি একটি আংটি তৈরি করে এবং এই রিংটিতে কার্যকারিতা বিবেচনা করে মূল সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে। এই ধরণের রিংগুলি সংখ্যা তত্ত্বে খুব কার্যকর।

বীজগণিত জ্যামিতিতে রিং

রিংগুলি বীজগণিত জ্যামিতিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। সমুদ্রের দুটি সমান্তরাল যেমন y ² = x ³ + 1 এর সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত বিমানের একটি বক্ররেখা বিবেচনা করুন। চিত্রটিতে প্রদর্শিত বক্ররেখাটি সমস্ত পয়েন্ট (x, y) নিয়ে সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। উদাহরণস্বরূপ, (2, 3) এবং (−1, 0) বক্ররেখার পয়েন্ট। দুটি ভেরিয়েবলের প্রতিটি বীজগণিত ফাংশনটি বক্রের প্রতিটি বিন্দুতে একটি মান নির্ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, xy + 2x বিন্দু 10 (10, 2) এবং −2 বিন্দু (−1, 0) নির্ধারিত করে। এই জাতীয় ফাংশনগুলি একসাথে যুক্ত এবং গুণিত হতে পারে এবং এগুলি একটি রিং তৈরি করে যা মূল বক্ররেখা অধ্যয়নের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। Y ² এবং x ³ + 1 এর মতো ক্র্যাঙ্কগুলি যা বক্ররেখার প্রতিটি বিন্দুতে একে অপরের সাথে একমত হয় এবং একই ফাংশন হিসাবে বিবেচিত হয় এবং এটি কার্ভটি রিং থেকে পুনরুদ্ধার করতে দেয়। জ্যামিতিক সমস্যাগুলি তাই বীজগণিত সমস্যাগুলিতে রূপান্তরিত হতে পারে, আধুনিক বীজগণিত থেকে কৌশলগুলি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে এবং তারপরে জ্যামিতিক ফলাফলগুলিতে ফিরে যেতে পারে।

বিংশ শতাব্দীর বীজগণিত জ্যামিতির অধ্যয়নের জন্য এই পদ্ধতির বিকাশ গণিতের অন্যতম প্রধান অগ্রগতি ছিল। এই দিকে অগ্রণী কাজটি ফ্রান্সে গণিতবিদ অ্যান্ড্রে ওয়েল 1950 এর দশকে এবং 1960 এর দশকে আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিক করেছিলেন was

গ্রুপ তত্ত্ব

সংখ্যা তত্ত্ব এবং বীজগণিত জ্যামিতির বিকাশ ছাড়াও, আধুনিক বীজগণিতের গ্রুপ তত্ত্বের মাধ্যমে প্রতিসম করার জন্য গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ রয়েছে। শব্দ গোষ্ঠীটি প্রায়শই কোনও ক্রিয়াকলাপকে বোঝায়, সম্ভবত কিছু বস্তুর প্রতিসাম্য বা পছন্দসই বস্তুর বিন্যাস সংরক্ষণ করে। পরবর্তী ক্ষেত্রে ক্রিয়াকলাপকে বলা হয় ক্রমান্বকরণ, এবং এক একরকম ক্রমান্বয়ের কথা বলা হয়, বা কেবল ক্রমশক্তি গ্রুপের কথা। যদি α এবং operations অপারেশন হয় তবে তাদের সম্মিলিত (α এর পরে β সাধারণত) লেখা হয় and এবং বিপরীত ক্রমে তাদের সংমিশ্রণ (β এর পরে α) লেখা থাকে is সাধারণত, αβ এবং equal সমান হয় না। একটি গোষ্ঠীটি অক্ষ হিসাবেও সংজ্ঞায়িত করা যায় এমন একটি সংখ্যার সেট হিসাবে যা বন্ধ, সাহস, পরিচয় উপাদান এবং বিপরীতের জন্য অক্ষগুলি সন্তুষ্ট করে (অক্ষ, 1, 6, 9, এবং 10)) বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে αβ এবং βα সকলের জন্য সমান α এবং β, সেই গোষ্ঠীকে আবর্তনমূলক বা আবেলিয়ান বলা হয়; এবেলীয় গোষ্ঠীগুলির জন্য, গুণাগুলির পরিবর্তে অপশনগুলি কখনও কখনও α এর পরিবর্তে α + written লেখা হয়।

বীজগণিত সমীকরণ সম্পর্কিত একটি পুরাতন সমস্যা সমাধানের জন্য ফরাসী গণিতবিদ অ্যাভারিস্ট গ্যালোইস (1811-232) দ্বারা গ্রুপ তত্ত্বের প্রথম প্রয়োগ হয়েছিল। প্রশ্নটি সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল যে প্রদত্ত সমীকরণটি মূলত (অর্থাত্ বর্গমূল, কিউব শিকড় এবং এর সাথে গাণিতিকের স্বাভাবিক ক্রিয়াকলাপের সাহায্যে) ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। সমাধানগুলির সমস্ত "গ্রহণযোগ্য" ক্রমবিধির গোষ্ঠীটি ব্যবহার করে যা বর্তমানে সমীকরণের গ্যালোইস গোষ্ঠী হিসাবে পরিচিত, গ্যালোইস দেখিয়েছিলেন যে সমাধানগুলি র‌্যাডিক্যালগুলির ক্ষেত্রে প্রকাশ করা যেতে পারে কি না। তিনিই ছিলেন গ্রুপগুলির প্রথম গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার এবং আধুনিক প্রযুক্তিগত দিক থেকে তিনি এই শব্দটি প্রথম ব্যবহার করেছিলেন। তার কাজটি পুরোপুরি বোঝার অনেক বছর আগে, তার অংশটি অত্যন্ত উদ্ভাবনী চরিত্রের কারণে এবং কিছুটা কারণ তার ধারণাগুলি ব্যাখ্যা করার মতো ছিল না - 20 বছর বয়সে তিনি দ্বন্দ্বের কারণে প্রাণঘাতী আহত হয়েছিলেন। বিষয়টি এখন গ্যালোইস তত্ত্ব হিসাবে পরিচিত।

গোষ্ঠী তত্ত্বটি 19 শতকের দ্বিতীয়ার্ধে প্রথমে ফ্রান্সে এবং পরে অন্যান্য ইউরোপীয় দেশগুলিতে বিকশিত হয়েছিল। একটি প্রাথমিক এবং অপরিহার্য ধারণাটি ছিল যে অনেকগুলি গ্রুপ এবং বিশেষত সমস্ত সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলি একটি অনন্য উপায়ে সহজ গ্রুপগুলিতে বিভক্ত হতে পারে। এই সরল গোষ্ঠীগুলি আরও পচে যেতে পারে না, এবং তাই তাদের "সরল" বলা হত যদিও তাদের আরও ক্ষয় হওয়ার অভাব তাদের প্রায়শই জটিল করে তোলে। এটি বরং পুরো সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার পণ্যগুলিতে, বা পরমাণুর মধ্যে একটি অণু বিভক্ত করার মতো।

১৯6363 সালে আমেরিকান গণিতবিদ ওয়াল্টার ফিট এবং জন থম্পসনের একটি ল্যান্ডমার্ক পেপারে দেখা গেছে যে একটি সীমাবদ্ধ সরল গোষ্ঠী যদি কেবল একটি নিয়মিত বহুভুজের ঘূর্ণন গোষ্ঠী না হয় তবে তার অবশ্যই সংখ্যক উপাদান থাকতে হবে। এই ফলাফলটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ছিল কারণ এটি দেখিয়েছিল যে এই জাতীয় গোষ্ঠীর কয়েকটি উপাদান রয়েছে যেমন এক্স ² = 1। এই জাতীয় উপাদানগুলি ব্যবহার করে গণিতবিদরা পুরো গোষ্ঠীর কাঠামোর উপর নিয়ন্ত্রণ পেতে সক্ষম হন। এই কাগজটি 1980 এর দশকের গোড়ার দিকে সম্পূর্ণ হওয়া সীমাবদ্ধ সরল গোষ্ঠীগুলি সন্ধানের জন্য একটি উচ্চাকাঙ্ক্ষী কর্মসূচীর দিকে পরিচালিত করেছিল। এটি বেশ কয়েকটি নতুন সাধারণ গোষ্ঠীর আবিষ্কারের সাথে জড়িত, যার মধ্যে একটি "দানব" 196,883 মাত্রার চেয়ে কম মাত্রায় কাজ করতে পারে না। মনস্টার আজও একটি চ্যালেঞ্জ হিসাবে দাঁড়িয়েছে কারণ গণিতের অন্যান্য অংশগুলির সাথে এর উদ্ভট যোগাযোগ রয়েছে।